Phương trình đường tròn là một chủ đề quan trọng trong toán học, giúp xác định các điểm trên đường tròn dựa vào tâm và bán kính. Đây là kiến thức cơ bản thường xuất hiện trong các kỳ thi Toán 10 và THPT. Vì vậy, PTĐT đã biên soạn bài viết này để giúp các em củng cố lý thuyết và làm quen với các dạng bài tập thường gặp, hỗ trợ học tập và ôn luyện hiệu quả.
1. Định nghĩa đường tròn
Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng có khoảng cách cố định đến một điểm cho trước. Điểm cố định này được gọi là tâm đường tròn, và khoảng cách cố định đó là bán kính. Trong hệ tọa độ Descartes, đường tròn được xác định bởi tọa độ của tâm và độ dài bán kính.
Ví dụ: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có tâm \( O(a, b) \) và bán kính \( R \) có thể được biểu diễn bằng phương trình toán học. Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể suy ra phương trình đường tròn.
2. Phương trình đường tròn tổng quát
Phương trình đường tròn được xây dựng dựa trên định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng. Giả sử một điểm \( M(x, y) \) nằm trên đường tròn có tâm \( O(a, b) \) và bán kính \( R \). Khoảng cách từ \( M \) đến \( O \) được tính theo công thức:
$\sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} = R.$
Bình phương hai vế của biểu thức trên, ta có phương trình đường tròn:
$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2.$
Ý nghĩa hình học
Phương trình này biểu diễn một đường tròn trên mặt phẳng, trong đó:
- \( (a, b) \) là tọa độ tâm đường tròn.
- \( R \) là bán kính đường tròn.
- \( R^2 \) là bình phương của bán kính.
Đây là phương trình chính tắc của đường tròn và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan.
3. Các dạng phương trình của đường tròn
Phương trình đường tròn có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bài toán hoặc yêu cầu cụ thể. Dưới đây là các dạng phổ biến:
Phương trình chính tắc
Phương trình chính tắc, như đã giới thiệu ở trên, có dạng: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2.$
Dạng này cho biết trực tiếp tọa độ tâm \( (a, b) \) và bán kính \( R \).
Phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng: $x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0,$
trong đó:
– \( A, B, C \) là các hằng số.
– Tâm đường tròn \( (a, b) \) và bán kính \( R \) có thể được xác định từ các hệ số \( A, B, C \) qua các công thức:
- $a = -A, \quad b = -B,$
- $R = \sqrt{a^2 + b^2 – C}.$
Lưu ý: Điều kiện để phương trình trên biểu diễn một đường tròn là \( a^2 + b^2 – C > 0 \), vì bán kính phải dương.
Trường hợp đặc biệt
- Nếu \( C = 0 \), đường tròn đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0) \).
- Nếu \( A = B = C = 0 \), phương trình trở thành \( x^2 + y^2 = 0 \), điều này chỉ thỏa mãn khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \), tức là đường tròn thoái hóa thành một điểm.
4. Phép biến đổi phương trình đường tròn
Trong nhiều bài toán, ta cần chuyển đổi giữa các dạng phương trình khác nhau. Một kỹ thuật quan trọng là “hoàn thành bình phương”, được sử dụng để chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình chính tắc.
Ví dụ: Cho phương trình tổng quát: $ x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0. $
Để đưa về dạng chính tắc, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gom nhóm các biến \( x \) và \( y \).
$ (x^2 – 4x) + (y^2 + 6y) = 3. $
Bước 2: Hoàn thành bình phương.
- Với \( x^2 – 4x \), thêm và bớt \( 4 \): \( x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2 \).
- Với \( y^2 + 6y \), thêm và bớt \( 9 \): \( y^2 + 6y + 9 = (y + 3)^2 \).
Khi đó, phương trình trở thành: $ (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. $
Kết quả: Đây là phương trình chính tắc của đường tròn có tâm \( (2, -3) \) và bán kính \( R = 4 \).
5. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho ba điểm không thẳng hàng \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \). Tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm này.
**Lời giải:**
Thay tọa độ ba điểm vào phương trình tổng quát: $ x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0. $
Giải hệ ba phương trình để tìm \( A, B, C \).
Bài tập 2: Xét đường tròn \( (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \) và đường thẳng \( 2x – y – 5 = 0 \). Xác định quan hệ giữa chúng.
**Lời giải**
Tính khoảng cách từ tâm đường tròn \( (1, -2) \) đến đường thẳng.
So sánh kết quả với bán kính \( R = 3 \) để xác định quan hệ.
Bài tập 3. Tìm m sao cho đường thẳng 3x + 4y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} = 4\) .
Lời giải
Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { – 1} \right) + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 + m} \right| = 10\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 + m = 10\\5 + m = – 10\end{array} \right.\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = – 15\end{array} \right.\)
Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC, với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải
Giả sử tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)
Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 – a} \right)^2} + {\left( { – 2 – b} \right)^2} = {\left( {4 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2}\\{\left( {4 – a} \right)^2} + {\left( {2 – b} \right)^2} = {\left( {5 – a} \right)^2} + {\left( { – 5 – b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 2\end{array} \right.\)
Vậy \(I\left( {1; – 2} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 – 6} \right)}^2} + {{\left( { – 2 + 2} \right)}^2}} = 5\)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)
Bài tập 5. Tìm tâm và bán kính của đường tròn \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 36\)
Lời giải
Phương trình của \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x – \left( { – 3} \right)} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = {6^2}\). Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { – 3;3} \right)\) và \(R = 6\).
Bài tập 6. Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm \(I\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) bán kính 0,8 trong mặt phẳng toạ độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm\(M\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{2};2} \right)\), đĩa được ném đi. Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?
Lời giải
Sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại điểm M.
Vậy quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa nằm trên đường thẳng có phương trình là:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{{10}} – 0} \right)\left( {x – \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}} \right) + \left( {2 – \frac{3}{2}} \right)\left( {y – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}\left( {x – \frac{{\sqrt {39} }}{{10}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {y – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {39} x + 5y – 13,9 = 0\end{array}\)
Bài tập 7. Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(-2; 5) và bán kính R= 7;
b) Có tâm I(1;-2) và đi qua điểm A(-2, 2);
c) Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5);
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x+2y +3 = 0.
Lời giải
a) Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 5} \right)^2} = 49\).
b) Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { – 2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {2 – \left( { – 2} \right)} \right)}^2}} = 5\)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)
c) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( { – 2;1} \right)\)
Bán kính đường tròn là: \[R = IA = \sqrt {{{\left( { – 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { – 3 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {17} \]
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 17\)
d) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 5 \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 20\)
Bài tập 8. Hình 46 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí 1 có toạ độ (- 2 ; 1) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).
a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.
b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (-1;3) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.
c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (-3;4) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
a) Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 9\)
b) Khoảng cách từ tâm I đến A là: \(IA = \sqrt {{{\left( { – 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Do \(IA < 3\) nên điểm A nằm trong đường tròn ranh giới. Vậy nên người A có thể dịch vụ của trạm.
c) Khoảng cách từ tâm I đến B là: \(IB = \sqrt {{{\left( { – 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 – 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
Khoảng cách ngắn nhất theo đường chim bay để 1 người ở B di chuyển đến vùng phủ sóng là:
\(IB – R = \sqrt {10} – 3\left( {km} \right)\)
Bài tập 9. Cho đường tròn\((C):{x^2} + {y^2} + 2x – 4y + 4 = 0\) . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).
Lời giải
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {1;0} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(x = 0\).
Bài tập 10. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (\[0{\rm{ }} \le t \le 180\] ) vật thể ở vị trí có toạ độ\[\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}sin{t^o};{\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}cos{t^o}} \right)\].
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Lời giải
a) Vị trí ban đầu ứng với \(t = 0\), suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là \(A\left( {2;5} \right)\).
Vị trí kết thúc ứng với \(t = 180\) , suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là \(B\left( {2;3} \right)\).
b) Từ đẳng thức \({\left( {\sin {t^o}} \right)^2} + {\left( {\cos {t^o}} \right)^2} = 1\) ta suy ra \({\left( {{x_M} – 2} \right)^2} + {\left( {{y_M} – 4} \right)^2} = 1\)
Do đó, M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 1\)
Đường tròn có tâm \(I\left( {2;4} \right)\), bán kính \(R = 1\) và nhận AB làm đường kính.
Khi \(t \in \left[ {0;180} \right]\) thì \(\sin t \in \left[ {0;1} \right]\) và \(\cos t \in \left[ { – 1;1} \right]\). Do đó, \(2 + \sin {t^o} \in \left[ {2;3} \right]\) và \(4 + \cos {t^o} \in \left[ {3;5} \right]\).
Vậy quỹ đạo của vật thể là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm \(C\left( {3;0} \right)\) bờ AB.
Tóm lại: Phương trình đường tròn là kiến thức quan trọng trong toán học, không chỉ giúp giải quyết bài toán hình học phẳng mà còn có ứng dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật và đời sống, mở ra nhiều hướng nghiên cứu thực tiễn.